Il moto del proiettile
Galileo afferma che due moti tra loro perpendicolari non si influenzano affatto, ciascuno svolgendosi esattamente nel modo in cui si svolgerebbe ove l’altro fosse assente. Ed ecco il celebre brano, questa volta messo in bocca a Sagredo, dove si argomenta che una palla di cannone sparata orizzontalmente a grandissima velocità arriva a terra nello stesso tempo di un’altra lasciata cadere senza spinta dalla bocca della colubrina (trascurando, ovviamente, piccole differenze dovute all’attrito dell’aria). Questo perché, appunto, il moto di discesa della palla lungo la verticale non risente di quello orizzontale. Risultato che, ancora oggi, molti troverebbero sorprendente, tanto lontana dal senso comune è l’idea dell’indipendenza dei due moti.
Nell’esposizione di Galileo sono dati tutti gli elementi utili a concludere qual è l’esatta forma geometrica della traiettoria, ossia una parabola.
Dialogo sui due massimi sistemi
SIMPL. Quando in cima di una torre fusse una colubrina livellata, e con essa si tirassero tiri di punto bianco, ossia paralleli all’orizonte, per poca o molta carica che si desse al pezzo, sì che la palla andasse a cadere ora lontana mille braccia, or quattro mila, or sei mila, or dieci mila etc., tutti questi tiri si spedirebbero in tempi eguali tra di loro, e ciascheduno eguale al tempo che la palla consumerebbe a venire dalla bocca del pezzo sino in terra, lasciata, senz’altro impulso, cadere semplicemente giù a perpendicolo. Or par meravigliosa cosa che nell’istesso breve tempo della caduta a piombo sino in terra dall’altezza, verbigrazia, di cento braccia, possa la medesima palla, cacciata dal fuoco, passare or quattrocento, or mille, or quattromila, ed or diecimila braccia, sì che la palla in tutti i tiri di punto bianco si trattenga sempre in aria per tempi eguali.
Indipendenza dei moti
La dimostrazione che il tempo di caduta di una palla sparata orizzontalmente oppure lasciata cadere a corpo morto dalla bocca del cannone è sempre lo stesso, per quanto elevata possa essere la velocità di uscita è la seguente:
Trascurando l’attrito dell’aria, lungo l’asse orizzontale \(x\) il proiettile si muove per inerzia con velocità costante, eguale a quella di uscita \(vx\). Lungo l’asse verticale, invece, si muove di moto uniformemente accelerato per effetto della gravità, a partire da un’altezza \(h\). Sia \(g\) il valore dell’accelerazione di gravità. Presa l’origine degli assi al suolo sulla verticale del cannone, le coordinate del proiettile, in funzione del tempo \(t\), sono allora:
\(x = v_xt\)
\(y = h - \frac{1}{2}gt^2\)
Eliminando il tempo, si ricava l’equazione parabolica della traiettoria:
\(y = h - \frac{1}{2}g \left ( \frac{x}{v_x} \right )^2\)
La gittata \(a\), che si trova dal valore di \(x\) allorché \(y = 0\), risulta proporzionale alla velocità iniziale \(v_x)\):
\(a = v_x \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
il tempo \(T\) per toccare terra si ricava dal valore di \(t\) allorché \(x = a\). Si ottiene
\(T = \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
In laboratorio vi è uno strumento che consente di vedere con buona approssimazione che il tempo di caduta di una palla sparata orizzontalmente oppure lasciata cadere verticalmente è lo stesso. Descrizione sommaria.
Il dispositivo è composto da uno scivolo metallico che termina con un tratto rettilineo lungo il quale scende una sferetta acquistando velocità; al termine del tratto rettilineo vi è un piccolo cancelletto scorrevole che, quando è colpito fa aprire apre il circuito di una elettrocalamita che tiene agganciata una seconda sferetta, uguale alla precedente, lasciandola cadere in linea retta. Le due sferette si devono incontrare durante la loro caduta, mostrando quanto previsto. In realtà è difficile ottenere tale risultato perché è necessaria una preparazione che tenga conto di numerosi parametri nella disposizione fisiche delle diverse parti dello strumento.